2011年9月27日星期二

你必须非常努力,才能看起来毫不费力

转自励志博客

有一群人,他们积极自律,每天按计划行事,有条不紊;他们不张扬,把自己当成最卑微的小草,等待着人生开出花朵的那天。他们早晨5点多起来健身,你在睡觉;7点开始享受丰盛的早餐,蛋白质维生素淀粉粗纤维样样俱全,为新的一天起了一个好头,当他们收拾妥当准备开始一整天的工作时,你还在睡觉。
他们用上午的高效时间完成了一个又一个任务,甚至发现了新的商机,发现了有可能给人生带来改观的机遇,当午餐时间临近,他们伸了伸腰,准备稍作休息,此时你终于起床。
他们的午餐不铺张浪费,却营养全面,他们有选择的进食,因为清楚地知道自己想要的是什么,而你也在起床之后感觉到了饿意,你草草洗了把脸,甚至连牙都没刷,打开冰箱,拿出了昨晚跟朋友high过之后带回来的薯条以及可乐。
午睡之后,他们重新积极的投入工作,而你也终于吃饱喝足,坐在了电脑前。是的,你的一天开始了。
晚上回到家里,他们也打开了电脑,也许是为了完成白天没来得及做完的工作,也许是因为前两天刚报了一个网络课堂,此时你还沉浸在dota中,你发的贴子还不够有人气,你发现空老师又更新微薄了,电视剧里男女猪脚还没有最后在一起,作恶多端的女二号还没有得到应有的报应。
终于,22点到了,他们停下了工作,或许去满满的书架上拿下了一本书,或许拿起了自己心爱的乐器打算练练手,或许已经上床睡觉。当然,睡之前他们会想一想,自己在这一天都做了什么,有什么收获,又有什么教训。
最后,他们又重新提醒了一下自己那个埋在内心深处的梦想,然后满意的睡去了。此时的你还在等待升级,还在顶贴子,还在刷微薄,还在为了男一号女一号哭哭啼啼,你的一天才刚刚开始精彩。
后半夜,你隐约感到了困意,依依不舍的关掉了电脑,身上已经很臭,你却懒得去洗一个澡。你走向了乱糟糟的床,钻进了肮脏的被窝,掏出了手机——是的,手机党伤不起。




















你隐约知道自己的身边有那么一群“他们”,可是你却没有办法实实在在的感受到他们的存在。
直到有一天,你和“他/她”终于浪漫的相见了——
他/她是老总,你是普通的打工仔;
他/她是主任,你是弱爆了的小职员;
他/她游历各国,念着你想念的大学,拍着你想拍的照片,过着你想过的生活;
他/她各种恣意的小清新,而你,是的,我知道你恨小清新,可是这又有什么关系?
事实已经如此,你就是那个电脑荧光照射下的颓废。

后记:近之韩寒,远一点的鲁迅,他们的犀利总是信手拈来,而且我们也没有听过他们有什么窘迫的生活。从这一点来说,他们比大多数人都努力,他们不但精于驾驭文字,也擅于经营生活。或许正因为如此,他们才能有闲暇的时间对社会问题进行思考,也正因为他们的努力与积累,才能做到不为金钱所动,能够超越“官”的威势或“商”的羁绊,坚持独立思考和敢于说真话,关心起社会的公平与思想改造,承担起“社会批判”和“社会良心”的使命。

2011年8月7日星期日

【转】MIT牛人解说数学体系


在过去的一年中,我一直在数学的海洋中游荡,research进展不多,对于数学世界的阅历算是有了一些长进。

为什么要深入数学的世界
作为计算机的学生,我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的,是要 想爬上巨人的肩膀,希望站在更高的高度,能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来,我在刚来这个学校的时候,并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目,是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上,使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework,在近年的论文中并不少见。

我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具,但是,我认为它不是panacea,并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病,那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上,开始的时候,我也是和Vision中很多人一样,想着去做一个Graphical Model——我的导师指出,这样的做法只是重复一些标准的流程,并没有很大的价值。经过很长时间的反复,另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信,一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的,原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动,和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。

在深入探索这个题目的过程中,遇到了很多很多的问题,如何描述一个一般的运动过程,如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达,如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系,还有很多。在这个过程中,我发现了两个事情:

我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
在数学中,有很多思想和工具,是非常适合解决这些问题的,只是没有被很多的应用科学的研究者重视。
于是,我决心开始深入数学这个浩瀚大海,希望在我再次走出来的时候,我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。

我的游历并没有结束,我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里,我只是说说,在我的眼中,数学如何一步步从初级向高级发展,更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。



集合论:现代数学的共同基础
现代数学有数不清的分支,但是,它们都有一个共同的基础——集合论——因为 它,数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念:集合(set),关系(relation),函数(function),等价 (equivalence),是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解,是进一步学些别的数学的基础。我相信,理工科大学生对于 这些都不会陌生。

不过,有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合,一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过,这个貌似平常 的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论,比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球,能分成五个部分,对它们进行一系列刚性变换(平移旋转)后,能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论,导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在,主流数学家对于它应该是基本接受的,因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面,下面的定理依赖于选择公理:

拓扑学:Baire Category Theorem
实分析(测度理论):Lebesgue 不可测集的存在性
泛函分析四个主要定理:Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem
在集合论的基础上,现代数学有两大家族:分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其它的,比如几何和概率论,在古典数学时代,它们是和代数并列的,但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上,因此从现代意义说,它们和分析与代数并不是平行的关系。


分析:在极限基础上建立的宏伟大厦
微积分:分析的古典时代——从牛顿到柯西
先说说分析(Analysis)吧,它是从微积分(Caculus)发展起来 的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。不过,分析的范畴远不只是这些,我们在大学一年级学习的微积分只能算是对古典分析的入门。分析研究 的对象很多,包括导数(derivatives),积分(integral),微分方程(differential equation),还有级数(infinite series)——这些基本的概念,在初等的微积分里面都有介绍。如果说有一个思想贯穿其中,那就是极限——这是整个分析(不仅仅是微积分)的灵魂。

一个很多人都听说过的故事,就是牛顿(Newton)和莱布尼茨 (Leibniz)关于微积分发明权的争论。事实上,在他们的时代,很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中,但是,微积分的基础并没有真正建立。那个 长时间一直解释不清楚的“无穷小量”的幽灵,困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机”。直到柯西用数列极限的观点重新建立了微积分的基本 概念,这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。直到今天,整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。

柯西(Cauchy)为分析的发展提供了一种严密的语言,但是他并没有解决微 积分的全部问题。在19世纪的时候,分析的世界仍然有着一些挥之不去的乌云。而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。我们在现在的微积分 课本中学到的那种通过“无限分割区间,取矩阵面积和的极限”的积分,是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的,叫做黎曼积分。但是,什么函数存 在黎曼积分呢(黎曼可积)?数学家们很早就证明了,定义在闭区间内的连续函数是黎曼可积的。可是,这样的结果并不令人满意,工程师们需要对分段连续函数的 函数积分。

实分析:在实数理论和测度理论上建立起现代分析
在19世纪中后期,不连续函数的可积性问题一直是分析的重要课题。对于定义在 闭区间上的黎曼积分的研究发现,可积性的关键在于“不连续的点足够少”。只有有限处不连续的函数是可积的,可是很多有数学家们构造出很多在无限处不连续的 可积函数。显然,在衡量点集大小的时候,有限和无限并不是一种合适的标准。在探讨“点集大小”这个问题的过程中,数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已 经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的特性。在极限思想的支持下,实数理论在这个时候被建立起来,它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理 (确界定理,区间套定理,柯西收敛定理,Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等)——这些定理明确表达出实数和有理数的根本区别:完备性(很不严格的说,就是对极限运算封闭)。随着对实数认识的深入,如何测量“点 集大小”的问题也取得了突破,勒贝格创造性地把关于集合的代数,和Outer content(就是“外测度”的一个雏形)的概念结合起来,建立了测度理论(Measure Theory),并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue Integral)。在这个新的积分概念的支持下,可积性问题变得一目了然。

上面说到的实数理论,测度理论和勒贝格积分,构成了我们现在称为实分析 (Real Analysis)的数学分支,有些书也叫实变函数论。对于应用科学来说,实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。而且, 它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数,或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼中,并不现实。但是,我认为,它并不是一种纯数学概念 游戏,它的现实意义在于为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。下面,我仅仅列举几条它的用处:

黎曼可积的函数空间不是完备的,但是勒贝格可积的函数空间是完备的。简单的 说,一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的,但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。在泛函分析,还有逼近理论中,经 常需要讨论“函数的极限”,或者“函数的级数”,如果用黎曼积分的概念,这种讨论几乎不可想像。我们有时看一些paper中提到Lp函数空间,就是基于勒 贝格积分。
勒贝格积分是傅立叶变换(这东西在工程中到处都是)的基础。很多关于信号处理的初等教材,可能绕过了勒贝格积分,直接讲点面对实用的东西而不谈它的数学基础,但是,对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一些工作——这并不是总能绕过去。
在下面,我们还会看到,测度理论是现代概率论的基础。
拓扑学:分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础
随着实数理论的建立,大家开始把极限和连续推广到更一般的地方的分析。事实 上,很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的。很多特性可以抽象出来,推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广,促成了点集拓扑学(Point- set Topology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念,被提取出来,进行一般性的讨论。在拓扑学里面,有4个C构成了它的核心:

Closed set(闭集合)。在现代的拓扑学的公理化体系中,开集和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是开区间和闭区间的推广,它们的根本地位,并不是 一开始就被认识到的。经过相当长的时间,人们才认识到:开集的概念是连续性的基础,而闭集对极限运算封闭——而极限正是分析的根基。
Continuous function (连续函数)。连续函数在微积分里面有个用epsilon-delta语言给出的定义,在拓扑学中它的定义是“开集的原像是开集的函数”。第二个定义和第 一个是等价的,只是用更抽象的语言进行了改写。我个人认为,它的第三个(等价)定义才从根本上揭示连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数” ——比如y是数列x1, x2, x3, … 的极限, 那么如果 f 是连续函数,那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的极限。连续函数的重要性,可以从别的分支学科中进行类比。比如群论中,基础的运算是“乘法”,对于群,最重要的映射叫“同态映射”——保持“乘法”的 映射。在分析中,基础运算是“极限”,因此连续函数在分析中的地位,和同态映射在代数中的地位是相当的。
Connected set (连通集合)。比它略为窄一点的概念叫(Path connected),就是集合中任意两点都存在连续路径相连——可能是一般人理解的概念。一般意义下的连通概念稍微抽象一些。在我看来,连通性有两个重 要的用场:一个是用于证明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem),还有就是代数拓扑,拓扑群论和李群论中讨论根本群(Fundamental Group)的阶。
Compact set(紧集)。Compactness似乎在初等微积分里面没有专门出现,不过有几条实数上的定理和它其实是有关系的。比如,“有界数列必然存在收敛子 列”——用compactness的语言来说就是——“实数空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义是一个听上去比较抽象的东西——“紧集的任意 开覆盖存在有限子覆盖”。这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便,它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说,用得更多的是它的另一种形式 ——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。Compactness在现代分析中运用极广,无法尽述。微积分中的两个重要定 理:极值定理(Extreme Value Theory),和一致收敛定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推广到一般的形式。
从某种意义上说,点集拓扑学可以看成是关于“极限”的一般理论,它抽象于实数理论,它的概念成为几乎所有现代分析学科的通用语言,也是整个现代分析的根基所在。

微分几何:流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构
拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间,但这不是故事的结束,而仅仅是开 始。在微积分里面,极限之后我们有微分,求导,积分。这些东西也可以推广到拓扑空间,在拓扑学的基础上建立起来——这就是微分几何。从教学上说,微分几何 的教材,有两种不同的类型,一种是建立在古典微机分的基础上的“古典微分几何”,主要是关于二维和三维空间中的一些几何量的计算,比如曲率。还有一种是建 立在现代拓扑学的基础上,这里姑且称为“现代微分几何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓扑空间的基础上加了一套可以进行微 分运算的结构。现代微分几何是一门非常丰富的学科。比如一般流形上的微分的定义就比传统的微分丰富,我自己就见过三种从不同角度给出的等价定义——这一方 面让事情变得复杂一些,但是另外一个方面它给了同一个概念的不同理解,往往在解决问题时会引出不同的思路。除了推广微积分的概念以外,还引入了很多新概 念:tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。

近些年,流形在machine learning似乎相当时髦。但是,坦率地说,要弄懂一些基本的流形算法, 甚至“创造”一些流形算法,并不需要多少微分几何的基础。对我的研究来说,微分几何最重要的应用就是建立在它之上的另外一个分支:李群和李代数——这是数 学中两大家族分析和代数的一个漂亮的联姻。分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析,以及在其基础上的调和分析。



代数:一个抽象的世界
关于抽象代数
回过头来,再说说另一个大家族——代数。

如果说古典微积分是分析的入门,那么现代代数的入门点则是两个部分:线性代数(linear algebra)和基础的抽象代数(abstract algebra)——据说国内一些教材称之为近世代数。

代数——名称上研究的似乎是数,在我看来,主要研究的是运算规则。一门代数, 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则,建立一个公理体系,然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则,就构成一个代数结构。在主 要的代数结构中,最简单的是群(Group)——它只有一种符合结合率的可逆运算,通常叫“乘法”。如果,这种运算也符合交换率,那么就叫阿贝尔群 (Abelian Group)。如果有两种运算,一种叫加法,满足交换率和结合率,一种叫乘法,满足结合率,它们之间满足分配率,这种丰富一点的结构叫做环(Ring), 如果环上的乘法满足交换率,就叫可交换环(Commutative Ring)。如果,一个环的加法和乘法具有了所有的良好性质,那么就成为一个域(Field)。基于域,我们可以建立一种新的结构,能进行加法和数乘,就 构成了线性代数(Linear algebra)。

代数的好处在于,它只关心运算规则的演绎,而不管参与运算的对象。只要定义恰 当,完全可以让一只猫乘一只狗得到一头猪:-)。基于抽象运算规则得到的所有定理完全可以运用于上面说的猫狗乘法。当然,在实际运用中,我们还是希望用它 干点有意义的事情。学过抽象代数的都知道,基于几条最简单的规则,比如结合律,就能导出非常多的重要结论——这些结论可以应用到一切满足这些简单规则的地 方——这是代数的威力所在,我们不再需要为每一个具体领域重新建立这么多的定理。

抽象代数有在一些基础定理的基础上,进一步的研究往往分为两个流派:研究有限 的离散代数结构(比如有限群和有限域),这部分内容通常用于数论,编码,和整数方程这些地方;另外一个流派是研究连续的代数结构,通常和拓扑与分析联系在 一起(比如拓扑群,李群)。我在学习中的focus主要是后者。

线性代数:“线性”的基础地位
对于做Learning, vision, optimization或者statistics的人来说,接触最多的莫过于线性代数——这也是我们在大学低年级就开始学习的。线性代数,包括建立在它 基础上的各种学科,最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位,和连续函数在分析中的地位,或者同态映射在群论中的地位是一样的 ——它是保持基础运算(加法和数乘)的映射。

在learning中有这样的一种倾向——鄙视线性算法,标榜非线性。也许在 很多场合下面,我们需要非线性来描述复杂的现实世界,但是无论什么时候,线性都是具有根本地位的。没有线性的基础,就不可能存在所谓的非线性推广。我们常 用的非线性化的方法包括流形和kernelization,这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射,通过把许多局部线 性空间连接起来形成非线性;而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间,再进行线性空间中所能 进行的操作。而在分析领域,线性的运算更是无处不在,微分,积分,傅立叶变换,拉普拉斯变换,还有统计中的均值,通通都是线性的。

泛函分析:从有限维向无限维迈进
在大学中学习的线性代数,它的简单主要因为它是在有限维空间进行的,因为有 限,我们无须借助于太多的分析手段。但是,有限维空间并不能有效地表达我们的世界——最重要的,函数构成了线性空间,可是它是无限维的。对函数进行的最重 要的运算都在无限维空间进行,比如傅立叶变换和小波分析。这表明了,为了研究函数(或者说连续信号),我们需要打破有限维空间的束缚,走入无限维的函数空 间——这里面的第一步,就是泛函分析。

泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的线性空间,包括有限维和无限维,但是很多东西在有限维下显得很trivial,真正的困难往往在无限维的时候出现。在 泛函分析中,空间中的元素还是叫向量,但是线性变换通常会叫作“算子”(operator)。除了加法和数乘,这里进一步加入了一些运算,比如加入范数去 表达“向量的长度”或者“元素的距离”,这样的空间叫做“赋范线性空间”(normed space),再进一步的,可以加入内积运算,这样的空间叫“内积空间”(Inner product space)。

大家发现,当进入无限维的时间时,很多老的观念不再适用了,一切都需要重新审视。

所有的有限维空间都是完备的(柯西序列收敛),很多无限维空间却是不完备的(比如闭区间上的连续函数)。在这里,完备的空间有特殊的名称:完备的赋范空间叫巴拿赫空间(Banach space),完备的内积空间叫希尔伯特空间(Hilbert space)。
在有限维空间中空间和它的对偶空间的是完全同构的,而在无限维空间中,它们存在微妙的差别。
在有限维空间中,所有线性变换(矩阵)都是有界变换,而在无限维,很多算子是无界的(unbounded),最重要的一个例子是给函数求导。
在有限维空间中,一切有界闭集都是紧的,比如单位球。而在所有的无限维空间中,单位球都不是紧的——也就是说,可以在单位球内撒入无限个点,而不出现一个极限点。
在有限维空间中,线性变换(矩阵)的谱相当于全部的特征值,在无限维空间 中,算子的谱的结构比这个复杂得多,除了特征值组成的点谱(point spectrum),还有approximate point spectrum和residual spectrum。虽然复杂,但是,也更为有趣。由此形成了一个相当丰富的分支——算子谱论(Spectrum theory)。
在有限维空间中,任何一点对任何一个子空间总存在投影,而在无限维空间中, 这就不一定了,具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。这个概念是现代逼近理论的基础(approximation theory)。函数空间的逼近理论在Learning中应该有着非常重要的作用,但是现在看到的运用现代逼近理论的文章并不多。
继续往前:巴拿赫代数,调和分析,和李代数
基本的泛函分析继续往前走,有两个重要的方向。第一个是巴拿赫代数 (Banach Algebra),它就是在巴拿赫空间(完备的内积空间)的基础上引入乘法(这不同于数乘)。比如矩阵——它除了加法和数乘,还能做乘法——这就构成了一 个巴拿赫代数。除此以外,值域完备的有界算子,平方可积函数,都能构成巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分析的抽象,很多对于有界算子导出的结论,还有算子谱 论中的许多定理,它们不仅仅对算子适用,它们其实可以从一般的巴拿赫代数中得到,并且应用在算子以外的地方。巴拿赫代数让你站在更高的高度看待泛函分析中 的结论,但是,我对它在实际问题中能比泛函分析能多带来什么东西还有待思考。

最能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析 (Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域,傅立叶分析和小波分析,我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近 和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题,不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波,调和分析还研究一些很有用的函数空间,比如Hardy space,Sobolev space,这些空间有很多很好的性质,在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说,调和分析在信号的表达,图像的构造,都是非常有用的 工具。

当分析和线性代数走在一起,产生了泛函分析和调和分析;当分析和群论走在一 起,我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。我一直认为这是一门非常漂亮的数学:在一个体系中,拓扑,微分和代数走到了一起。在一定条件下, 通过李群和李代数的联系,它让几何变换的结合变成了线性运算,让子群化为线性子空间,这样就为Learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动 的建模创造了必要的条件。因此,我们相信李群和李代数对于vision有着重要意义,只不过学习它的道路可能会很艰辛,在它之前需要学习很多别的数学。



现代概率论:在现代分析基础上再生
最后,再简单说说很多Learning的研究者特别关心的数学分支:概率论。 自从Kolmogorov在上世纪30年代把测度引入概率论以来,测度理论就成为现代概率论的基础。在这里,概率定义为测度,随机变量定义为可测函数,条 件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影,均值则是可测函数对于概率测度的积分。值得注意的是,很多的现代观点,开始以泛函分析的思路看待概率论的 基础概念,随机变量构成了一个向量空间,而带符号概率测度则构成了它的对偶空间,其中一方施加于对方就形成均值。角度虽然不一样,不过这两种方式殊途同 归,形成的基础是等价的。

在现代概率论的基础上,许多传统的分支得到了极大丰富,最有代表性的包括鞅论 (Martingale)——由研究赌博引发的理论,现在主要用于金融(这里可以看出赌博和金融的理论联系,:-P),布朗运动(Brownian Motion)——连续随机过程的基础,以及在此基础上建立的随机分析(Stochastic Calculus),包括随机积分(对随机过程的路径进行积分,其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ito Integral)),和随机微分方程。对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。



终于写完了——也谢谢你把这么长的文章看完,希望其中的一些内容对你是有帮助的。

2011年7月19日星期二

一块红布

那天是你用一块红布
蒙住我双眼也蒙住了天
你问我看见了什么
我说我看见了幸福
这个感觉真让我舒服
它让我忘掉我没地住
你问我还要去何方
我说要上你的路

看不见你也看不见路
我的手也被你攥住
你问我还在想什么
我说要让你做主
我感觉你不是铁
却像铁一样强和烈
我感觉你身上有血
因为你的手是热乎乎

我感觉这不是荒野
却看不见这土地已经干裂
我感觉我要喝点水
可你的嘴将我的嘴堵住
我不能走,我也不能哭
因为我的身体已经干枯
我要永远这样陪伴着你
因为我最知道你的痛苦


2011年3月18日星期五

优秀是一种习惯,习惯却是来自于思维的境界

导读:这是一封中国留美学生写给临高考妹妹的信,优秀是一种习惯,习惯却是来自于思维的境界。这一封远隔重洋而来的家书,揭示了当代中国优秀 年轻人的思维之秘。我们应该为家书两端这血脉相连的缘分而庆幸,正因如此,才让我们倾听到这只在口口相授间的肺腑真言,享用到一席可改造命运的“盛宴”。
拖了很久,一直迟迟没有下笔写这封信,原因有三:1,在我上学期间,我苦于照顾自己的学业,因此没有大片空闲的时间来给你提比较有建设性的意见;2,在放假以后,由于我换了寝室,搬东西,所以我花了不少时间来整理我的东西,而且后来又开始工作,所以比较疲惫,我的心也不太静,我 自认为我没有找到那种应有的状态来给你写信,但又不想简略而敷衍地给你几句安慰;3,我将我的这封信定义为你人生的一个终点,一个起点,或者更准确点说叫 转折点,所以也不希望你仅仅抽短短的复习间隙去浏览它,因而在考试完了以后就不再记得其内容和所深含的意义,即没有达到我的目的。所以,我选择了今天,一 个距离你结束高中学习还有7天的大雨后的金色傍晚,来给你写这封信,想必其意义深远。我不管别人看不看,或者看了后会怎么说,我想你的长辈众多,我算其中 一个,但是我敢保证除了我没有第二个人以这种书信的形式让你的人生从此有所不同,很坦诚地说,我对此十分有信心。
心态是战胜一切的关键,一个测验的分数高低的实际意义(你所学东西,你的做题技巧及能力)早在你触摸卷子前就已经确定了,所以你在那一刻不必对自己的能力产生怀疑,接下来你 需要或者只能做的事情就是:调整心态以求不让自己发挥失常,所以,我否定了超常发挥的说法。说来简单,调整心态,从小说到大,但为什么往往我们似乎在发卷 子的那一刻就开始紧张呢?其实这个议题十分的傻,举个例子,据调查,美国人最怕的是什么?不是恐怖份子,不是龙卷风,而是公共演讲!再有才的演讲家,站在 台上都会紧张,为什么?因为我们都是人!这个是本能,所以要想费劲心思去克服紧张的这条路似乎走不通。那我们能不能换个思维呢?一年前,我没有出来,只在 中国大学呆了一年,思维难免走得极端而枯燥,甚至令人费解,不过今天,又过了一年,我却悟到了很多在中国呆着无法悟到的人生真理,希望能与你分享。
在过去的一年间,我做了不少事情:独自来到地球的另一端,呼吸着比成都清新很多倍的空气,像哑巴一样说着吐词不清的英文,像聋子一样听着完全不懂的英文,像 盲人一样看着无数不认识的字母,像文盲一样写着绕口英文,认识了一帮新朋友,自告奋勇去篮球队报名说想参加,结果没选我,闯着胆子去参加学校的参议院竞 选,结果落榜了,为了挣钱,参加了无数学校工作的面试,最后有幸先后工作7个不同地方,参加了几个项目与活动,认识了上帝,感受了修道院生活,认识了一大 堆神父,每天都有松鼠从旁边跑过,站在曾经照顾过的已故的其中一位神父的墓前回忆以前的开心时刻,坐在湖边享受春风,去森林里面收集枫树的糖浆,看了一次 流星,熬了无数的夜,帮助了无数需要帮助的朋友解决人生问题从而又顺便思考了下自己的人生,此时的我,看见有很多光芒在前面闪耀,似乎,这就是所谓的“黎 明”……
一个人的人生的走法太多了,即你在成长的过程中所面临的岔路太多了,而99.99%都是在你不经意间出现的,但往往你是不知道怎么 选择的,说清楚点,我觉得往往我们是不去选择的,凭想象,感觉或者叫直觉去走,结果呢?往往是不怎么如意的。有些人会觉得无所谓,不管它,顺其自然,或者 走两步再说,这种消极的想法就是普通人和真正优秀人的区别。经过我反复思考和验证,有三个因素或者说阶段是十分关键的。在此,我不评价你是属于哪个阶段或 者处于什么状态,这些留给你自己思考,因为我的观点是,你如果是真正的成熟的人,你是有这个判断能力的,否则,我说再多、再好听,都是无济于事。
首先,看一个人是否有想法。换 句话说就是,这个人的态度是积极的还是消极的。是自身主动追求优秀,追求最好的,即好胜心强不强(当然,这个不仅仅是指物质方面,而主要是指对自己的人格 或人生追求)还是客观环境迫使自己这样去做一些事情。我们捡好的说,(当然一个人连想法都没有,我们也就没啥好说的了),一个积极的心态可以带动很多很多 的东西。首先,你的心情不一样,你的精神状态不一样,这样的结果是你做事情的效率也不一样。你一旦有了某种动力在身后推你,你会有明显的紧迫感、危机意 识,你会很有欲望去占有那些知识和技能,随之你很渴望得到别人的肯定,从而你会很有成就感。这样一个像链条一样的过程对很多人来说是很有诱惑力的,因为他 们很享受这样一种过程,他们会因此而觉得生活很美好。这种积极的生活态度,是成功的根源。
其次,看一个人是否了解自己。一个 有了想法的人,不见得就会走上一条光明而成功的道路,在此背后,他需要通过自己改变自己。很多人都是这样的,包括身边的很多人,他们很有想法,雄心满满, 斗志昂扬,期待一场酣畅淋漓的战斗却在关键点上丧失了章法,丧失了智慧,丧失了机遇,最后导致丧失了信心,最后又回到了原点,因为他们首先丧失了自我。他 们不明白在自己想要什么以及下一步应该做什么去接上那个链子,以至于走向成功之路而不是亡国之路。当你明白你想要什么以后,其他的所有额外因素都成了你的 耳边风,那些客观因素是不会左右你的,你也不会尚失信心和斗志,因为你很清楚你在做什么,即使是暂时的停滞或者状态低迷你也不会失去自我,因为我们是人, 不可能完美的,我们能把握的就只有大的方向。在遭受挫折,困难的时候,我们积极的态度就是我们的动力,我们清醒的头脑就是我们的指南针,这样,我们就离成 功又进了一步了!
最后,在把握大的方向的同时如果没有对细节上的精益求精是无法达到真正优秀的,这就是为什么精英是少数的原 因。站在金字塔尖的永远都只有那么少数的人,为什么?因为这一步是及其困难的,因为它要求在你整个人生过程中,几十年如一日的谨慎,清醒。怎么理解它呢? 这个细节代表了你人生的每一秒钟,当你多看1秒种电视,也就意味着你少看1秒钟书。(这个就是经济中的“机会成本”概念,它表示你做一件事清就意味着你放 弃了做另外一件有益的事情的机会,你失去的这个“益”就是你正在做的这件事情的成本,也就是你付的代价,说简单点,就是你多看1秒钟电视的代价就是你少看 1秒钟书,从而你失去的看书给你带来的好处,也就是在测验时候少那第一名的n分;又比方说,我坐在这里给你写几个小时的信,却没能多看几部电影,但是我觉 得看电影给我带来的娱乐效应远远不足以填补我帮助你所带来的幸福感,所以,我选择了给你写信,而不是看电影,这个概念会伴随我们一辈子,是我们每当做选择 的时候所必然要面对的,它体现了你的价值观,所以我用2个例子说明其深刻而简练的含义)。所谓细节,就是你在这1秒做的选择,这样就足够证明很多人是不会 去想我到底该不该多看这1秒呢?或者说,很多人会忽略它的,所以说很多人是普通的。如果一个真正优秀的人,他会很清楚自己多看这1秒钟电视所付出的代价, 他会十分清醒自己的目的和结果,所以即使他多看那1秒,也是他计划之中的,他不必为此而恐惧。
为了更好的引导你,也给你更深刻的感受,以及 更强的说服性,我决定用我自己的亲身经历,用活生生的事实让你去体验这种美妙的感觉。在上文中,我简约地提到了我这过去的一年所做的一些事情,当然是很不 完全的,但是都比较有代表性。从我刚来到这个学校的那一刻起,坦白说,我并不是那么清醒的,虽然我来之前做了很多设想和打算,以及制定了许多目标,但是人 就是这样,之前你预想得再多,当你真正进入那个世界的时候往往又是另外一码事了,所以我们才需要不断由自己或者别人给予指引。我对周围的环境极其不适应, 因为确实没有体验过24小时都被英语围绕的感觉。上课,能听懂教授的大部分,不过同学之间的讨论很困难,这边美国学生口音很重,说话很快,十分模糊,而且 很多俚语(相当于当地的习惯用语),我在中国都是没有听过的,再说即使听懂了又要把我自己的想法用英语表达出来而且对方还要听懂,这又是另外一回事。而且 刚来没有朋友,人生地不熟,对任何东西都一无所知,可以说来到了一个真正的陌生世界,那我要怎么在这里闯出一片天下呢??背负着家长的期望,和钱的压力, 面对这样一种环境,似乎像在死胡同一样,走投无路了!不过,我幸好已经站在了第一步和第二步的转折点上,我从来不缺乏想法,我很有斗志,希望在这里学有所 成,但是我到底需要什么,似乎不怎么清楚。我于是很花了些时间来思考自己的路,思考自己的境遇,评估自己的状态。我很快确定我必须先从我薄弱环节做起,我 越听不懂他们说,就越要去找他们说,我越没有朋友就越去广交朋友(外国人一般都是十分友善的,即使是陌生人,走在路上也会冲你微笑问好,十分讲礼貌),我 越说不来,越逼着自己把自己的想法说出口,这样一来,一个原本很生疏的环境,因为有了些新朋友,变得温暖了许多,没有刚开始那么孤独,胆子也大了许多(这 都是一个过程,一个始终不放弃的过程,一个永远相信黎明就在前面的过程),在这样的基础上,逐渐熟悉了周围的环境,我就想我擅长篮球,美国这样一个篮球大 国我是否可以一展伸手呢?我于是自告奋勇去篮球队找教练,说我十分有意愿想要加入我们学校篮球队,(因为我的自信,因为我有想法,因为我很清楚自己需要一 个团队去更快融入这里生疏的环境已经美国文化,于是我这么做了),教练后来十分欣赏我的激情,于是允许我去试训,后来,是因为我确实从身体到技术都差了不 少,才被很有理由的档在了篮球队的大门外。从表面上看,我得到了一个令人不满意的结果,被拒绝了,但是,我得到的东西远远多于这个结果,人们往往注重结 果,从而忽略了相当多的有价值的信息,而我却不一样,在这个过程中,我又多认识了教练,和学校篮球队的队员,多了些打球的朋友,并且见识了美国篮球的水 平,并且知道了自己的差距,最关键的是我的这个经历,我的勇气,胆量以及热情,都给美国人留下了深刻的印像。这样在以后的日子里,我和那几个教练也成了朋 友,平时见面也要打招呼并且互相问候。这次被拒绝的经历完全就成了我的资历,是其他人所不具有的。
后来,我由于对自己的英语表达水平极其不 满意,我选了门公共演讲课,这个课要求学生每个星期做一次演讲,观众就是下面的20多个同学。每节课老师给我题目,然后去准备,从开始打草稿,到写要点, 到提纲,到最后站在台上,整个过程对我来说就像洗脑一样,十分有挑战。而且这个教授十分苛刻和专业,在台上要注意站姿,眼睛看的地方,脚的站法,手的摆 放,面部表情,语言的流利程度,以及内容的可观赏性,从内到外,我需要做的东西太多了,刚去才没多久,就要接受这样的考验,硬着头皮也要上啊!于是我从不 熟练,到熟练,从紧张到发挥得游刃有余,最后我才知道,和我同班的许多同学是大三,大四的(美国是施行选课制,无论年级都可以选这门课),这样的经历让我 好好地磨练了自己的表达能力,完全在表达能力上有了长足的进步,并且说话自信了很多!
随后,我发现我是一个人住的,并没有美国室友,觉得与 人交流的机会并不多,那岂不是失去了很多改善英语的机会,我就自己去找学校的相关负责人员,说我要调寝室,我说我希望能有个美国室友,他们说这个可能性不 大,因为那时正是学期的一半,所有人都早已经搬进了宿舍而且都已经分配好了,没有人会愿意在一个学期中让一个(特别我又是外国学生)人搬进去住的,但是他 们说的确有些人是一个人住在双人间的,我可以去试试,问他们愿意不愿意。他们给了我一个列表,里面就是一些一个人住在双人间的,我需要一个一个埃着发邮件 去和他们交涉。(因为我十分清楚我自己想要什么,我需要找个美国室友让我尽快融入这里的环境以及改善我恶劣的英语)在不懈努力下,最后一个人同意让我搬进 去,后来我们成了室友,1年后的今天,我的英语由于他而变得更地道,我对美国文化也有了不少新的认识。
再后来,我觉得我从来都没有体验过民 主的感觉,于是我带着好奇心和勇气,参加了学校参议院(相当于中国学校里的学生会)的竞选,从海报到竞选演讲,我一一经历而来,感触颇深,虽然结果仍然是 不令人满意的,但是我的这个经历可以说是在过去1年里的一个重要里程碑。从中,我体会到了民主的缺陷性,因为有些因素从民主的角度看并不是由你真实水平而 定的(虽然我一直坚持认为我是那几个里面演讲最好,海报最好的),我发现了民主的缺陷,当我的头像在学校各处张贴的时候感受到了民主的力量,我因竞选而又 认识了一大堆朋友并且得到了不少人的肯定,这些财富也是在我竞选之前没有料到的。又后来,我发现我工作比较少,于是我又去申请多工作,得到批准后我申请了 许多工作,至今有7个工作经验了,在不断的申请中,我又认识了不少人,我想,出了学校,进了社会,不也要有适应新环境和结交新朋友的技能吗?所以我就在不 断地锻炼自己去认识新事物,接触新东西,让自己能具备不断适应新环境的能力。
我在食堂干过洗碗,擦桌子,收盘子,吸尘,做汉堡,我去打扫过 教堂,整理过客房,去照顾过老人(那些老人十分智慧,从中我学到了与老人交流的技巧,学会了应对意外,学会了忍耐和服从,学会了爱),现在的工作是管理系 助教(坐办公室),下学期还有个新工作就是图书馆(舒适的环境),我清楚地看到我成长的痕迹,我知道什么是艰辛,所以从来在食堂吃了东西都要捡盘子,减少 浪费,我知道了怎么样对待工作、对待不同的人。我现在拥有全校最舒适的工作,环境好,做一上午作业一样拿钱,不过,我说过,我不是为舒适而去的,我还会更 改工作去学更多的东西(我去管理系的主要目的是去认识经济,管理和会计系的教授,和他们熟了以后可以获得很多有用的信息,因为我是会计系的;去图书馆的主 要目的是去熟悉下学校的图书馆的网络系统,想以后能更熟练运用它来查资料)。
再后来,我翻开自己的简历,觉得自己参加的活动寥寥无几,于是 去学校网站找到了个企业家项目,全校4000只选12,我深知自己需要什么,所以我毫不犹豫地报了名,经过充分的准备(期间,由于我的管理系工作,我认识 其中一个掌管此项目的教授,我也利用工作时间与其交流,给他留下了深刻的印象,这个好处也是我在找管理系工作之前无法想象到的),后来经过3论严格的面 试,我被通知入选12人名单,并且是唯一一个拿到此项目奖学金的人,所以在随后的2年时间里,我参加这个项目会和其他11人去中国大陆,香港,澳门和硅 谷,还有其他一些地方去与那些成功人士交流,而我只用付一部分钱。上学期,我发觉自己的表达能力仍然需要提高,所以我报名参加了一个叫模拟联合国的活动, 明年2月会去哈佛代表我们学校去参加,应该会很有意义。而在第一学期,我的成绩似乎比较不怎么理想,而就在上学期,我在平均每个星期工作20个小时,而且 下课要自己做饭,然后又有很多们课的情况下,我完美地完成了自己给自己制定的任务,成绩有了很大的提高。最近,又在联系一家会计公司(全球4大会计公司之 一)的一个人事人员,希望能和她见面,来探讨一些关于未来工作的问题,(因为我十分清楚我要在这里找到份满意的工作是多么的难,我必须笨鸟先飞),而她同 意了,我会在今年10月的时候在加州和她见面……。在这个暑假,我觉得自己的阅读水平有待提高,书读得少,已经制定了阅读计划,迄今为止,已经完成了8本 英语书的阅读(从来到现在)。
我用这几件事情把我这过去的一年的生活做了一个缩影,其实是深含了我所想表达的东西的,并不是给你显示我有多 么能干,这不是我的目的。我想与你分享我的喜悦,分享那种成功的感觉,并且让你知道在充满了希望的状态下生活是多么享受的事情,更为重要的是,整个过程的 改变,我的头脑的清醒,我能看见的东西比一般人要远很多。当我一无所知的时候,他们在打游戏,当我去认识了新的朋友的时候,他们还是在打游戏,当我去竞选 的时候,他们依然打游戏,当我入选各种活动的时候,他们还是在打游戏,当我总结评估自己,并且展望未来的时候,他们仍然在打游戏,当我为我成功而感到喜欢 并与其他人分享的时候,他们能做的,也就是打游戏,除此之外就是羡慕!
能改变你自己的,也就只有你自己了,除此之外,没有任何人能彻底地改 变你的,包括以上文字。你要牢牢记住,只要你过程走好了,结果永远坏不了!!!什么是,过程走好?换句话解释就是,当你面对无数岔路的时候,不要被自己的 惰性和无知所妥协,在清醒自己的同时运用你所拥有的动力去把每个细节做到精益求精,你不成功,谁成功?
经历就是财富。当你走过一段路的时 候,要是你能回过头来看看自己的足迹,那是多么幸福而有用的事情!自省是一个人成熟的第一台阶,学会认识自己,这个技能当然也是成功的最基本因素。我坚决 认为,一个人应该多留时间给自己思考,这个才是真正的磨刀不误砍柴功!当你处在一个不满意的环境中时,怎么样来通过内在的自己去克服环境从而代替去埋怨与 泄气,这个也是认识自己,清楚自己以后的一个最重要的作用,不管你的环境是怎么样改变,你,始终是你,你自己永远明白自己需要什么,通过你的精益求精地努 力,没有什么东西是不可以改变的!
当你明白了我的以上文字,我希望你再对自己提几个层次高点的问题,面对自己,你觉得你需要什么?面对社会,你觉得你应该贡献什么?面对家人,你觉得你应该给予什么?面对大自然,你觉得你应该感受什么?最后,面对测验,你应该享受什么!
我相信,当你通过了以上思考,站在与你同龄人不同的(即更高的)层次或角度去看待和分析你即将面临的事物,(就好比叫一个高中生去做小学数学题)难道你还会不自信?难道你还会在意旁人的只言片语?难道你面对那无聊的卷子还会紧张?难道你还在乎你暂时的成败?
衷心祝愿你能找到一个真正的自我,认识这个其实并不复杂的世界,享受这世间的一切美好,你要相信,此时是黑夜,在地球的那端永远是有颗照耀的太阳,你需要做的,就只有努力做好本分的事情,然后耐心等待光明的到来!加油!
哥哥马思路于美国。

2011年1月11日星期二

开题之后

今天终于开题了,准备了那么长时间终于可以松口气。有自己满意的地方,也有很多不满甚至有点气愤的地方,不过这都不是我所能控制的,至少让自己知道了把自己的部分做到最好,谋事在人,成事在天。
回家的车票也下来了,还不错,有座。想回家吃我妈做的饺子,想回去看看小姑……

2011年1月6日星期四

换模板了

下了很大的决心决心,今天终于把博客的模板给换了。
感觉还不错,比以前大气了很多。

还是看着不舒服,换回来了。可能我是个讨厌改变的人。